Практическая работа обратные тригонометрические функции. Выразим через все обратные тригонометрические функции. Как возникло и развивалось понятие функции

Разделы: Математика

Обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе.

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Предлагаемая программа посвящена методам решения уравнений и неравенств и преобразованию выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Она окажется полезной для учителей, работающих в старших классах – как общеобразовательных, так и математических, а также для учащихся, интересующихся математикой.

Данный курс расширяет базовый курс математики, даёт возможность познакомиться с интересными вопросами математики. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного курса математики. Вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений учащихся.

При проведении занятий традиционные формы, такие как лекция и семинар, должны применяться, но на первое место необходимо вывести такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами, написание рефератов.

Варианты итоговой аттестации могут быть следующие: тестирование, зачёты, написание рефератов на предложенные учителем темы; индивидуальные задания, в которых необходимо провести самостоятельное исследование, тематические контрольные работы.

Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; формирование целостной системы математических знаний и базы для продолжения математического образования в ВУЗах различного профиля.

Задачи курса:

• расширить сферу математических знаний учащихся;
• расширить представления учащихся об обратных тригонометрических функциях;
• обобщить основные методы решения уравнений, неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
• рассмотреть методы построения графиков обратных тригонометрических функций.

Требования к уровню подготовки учащихся.

• Учащиеся должны знать :
  – определение обратных тригонометрических функций, их свойства;
  – основные формулы;
  – методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – способы построения графиков функций: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Учащиеся должны уметь :
  – применять свойства и основные формулы обратных тригонометрических функций;
  – решать простейшие уравнения и неравенства;
  – выполнять преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – применять различные методы решения уравнений и неравенств;
  – решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции;
  – строить графики обратных тригонометрических функции.

Приведенное тематическое планирование курса является примерным. Учитель может варьировать количество часов, отводимых на изучение отдельных тем, с учетом уровня подготовки учащихся.

Тематическое планирование

	Тема	Кол-во часов	Формы учебной деятельности
	Обратные тригонометрические функции их свойства. Значения обратных тригонометрических функций.		Самостоятельная работа с учебной литературой, семинарское занятие.
	Графики обратных тригонометрических функций.		Практическая работа.
	Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.		Разбор и анализ решений. Тестирование.
	Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.		Семинарское занятие.
	Методы решений уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.		Разбор и анализ решений. Диспут. Зачёт.
	Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры.		Разбор и анализ решений. Дискуссия.
	Обобщающее повторение		Разработка и защита проекта.
	Итоговый контроль по курсу.		Контрольная работа. Защита реферата.

«Обратные тригонометрические функции, их графики. Значения обратных тригонометрических функций».

Определение обратных тригонометрических функций, их свойства. Нахождение значений обратных тригонометрических функций.

«Графики обратных тригонометрических функций».

Функции y = arcsinx , y = a rccosx , y = ar ctg x , y = arcctgx ,их графики.

«Преобразование выражений содержащих обратные тригонометрические функции».

Вычисление значений тригонометрических функций от значений обратных тригонометрических функций. Проверка справедливости равенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Упрощение выражений, содержащих обра тные тригонометрические функции » .

«Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения: arcsinx =а, arccosx =а, arctgx =а, arcctgx =а.
Неравенства: arcsinx >а, arccosx >а, arctgx >а, arcctgx >а, arcsinx <а, arccosx <а, arctgx <а, arcctgx <а.

«Методы решений уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Уравнения и неравенства левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Замена переменной. Использование монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.

«Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры».

Способы решений уравнений и неравенств, содержащих параметры.

«Обобщающее повторение».

Решение уравнений и неравенств разных уровней.

Итоговый контроль по курсу (2 часа).

Контролирующие работы могут быть представлены в виде контрольных работ в нескольких вариантах и разных уровней сложности. Защита рефератов по заданным темам.

Литература для учащихся:

1. Крамор В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1983.
2. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1984.
3. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочное пособие по методам решения задач для средней школы. – М.: Наука, 1983.
4. CD диск 1С:Репетитор.Математика. 1 часть.
5. Интернет ресурсы: Коллекция рефератов.

Литература для учителя:

1. Ершов В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций. – М.: Просвещение, 1984.
2. Васильева В. А., Кудрина Т. Д., Молодожникова Р. Н. Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: МАИ, 1992.
3. Ершова А.П., Голобородько В. В. Алгебра. Начала анализа. – М.: ИЛЕКСА, 2003.
4. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под ред. М. И. Сканави. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Журналы «Математика в школе».

Цель:

Задание: Составить тест «Обратные тригонометрические функции»

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 14 (2ч)

По теме: « Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Цель: систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;

Задание: Реферат на тему: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 15 (1ч)

По теме: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Цель: формирование самостоятельности мышления, способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации

Задание: презентация: «Растяжение и сжатие вдоль осей координат»

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа № 16 (2 ч)

По теме: « Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики»

Цель: систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся

Форма выполнения задания : исследовательская работа.

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Самостоятельная работа №18 (6 ч)

По теме: «Формулы половинного аргумента»

Цель: углубление и расширение теоретических знаний

Задание: Написать сообщение на тему "Формулы половинного аргумента". Составить справочную таблицу по формулам тригонометрии

Литература: А.Г.Мордкович «Алгебра и начала математического анализа» 10 кл

Интернет ресурсы

Срок сдачи- согласно КТП

Титульный лист.

План работы оформляется с названием «Оглавление»; расположение – по центру.

Список библиографических источников оформляется под заголовком «Литература». Список литературы должен включать все использованные источники: сведения о книгах (монографиях, учебниках, пособиях, справочниках и т.д.) должны содержать: фамилию и инициалы автора, заглавие книги, место издания, издательство, год издания. При наличии трех и более авторов допускается указывать фамилию и инициалы только первого из них со словами «и др.». Наименование места издания надо приводить полностью в именительном падеже: допускается сокращение названия только двух городов: Москва (М.) и Санкт Петербург (СПб.). Приведенные библиографические источники должны быть отсортированы в алфавитном порядке по возрастанию. Список должен состоять не менее чем из трех источников.

Каждая новая часть работы, новая глава, новый параграф начинается с последующей страницы.

Приложение оформляются на отдельных листах, каждое приложение имеет порядковый номер и тематический заголовок. Надпись «Приложение» 1 (2.3...) оформляется в правом верхнем углу. Заголовок приложения оформляется как заголовок параграфа.

Объем работы не менее 10 листов напечатанных на компьютере (машинке) страниц; оглавление, список литературы и приложения не включаются в указанное количество страниц.

Текст рукописи печатается шрифтом № 14, с интервалом - 1,5.

Поля: слева - 3 см, справа - 1 см, сверху и снизу - 2 см.

Красная строка - 1,5 см. Межабзацный интервал – 1,8.

После цитаты в тексте работы используются знаки: «...», , где номер библиографического источника берется из списка использованной литературы.

Обращение к тексту приложения оформляется следующим образом: (см. Приложение 1).

Оформление схем алгоритмов, таблиц и формул. Иллюстрации (графики, схемы, диаграммы) могут быть в основном тексте реферата и в разделе приложений. Все иллюстрации именуются рисунками. Все рисунки, таблицы и формулы нумеруются арабскими цифрами и имеют сквозную нумерацию в пределах приложения. Каждый рисунок должен иметь подпись. Например:

Рис.12. Форма главного окна приложения.

На все рисунки, таблицы и формулы в работе должны быть ссылки в виде: «форма главного окна приложения приведена на рис. 12.».

Рисунки и таблицы должны размещаться сразу после той страницы, на которой в тексте записки она упоминается в первый раз. Если позволяет место, рисунок (таблица) может размещаться в тексте на той же странице, где на него дается первая ссылка.

Если рисунок занимает более одной страницы, на всех страницах, кроме первой, проставляется номер рисунка и слово «Продолжение». Например:

Рис. 12. Продолжение

Рисунки следует размещать так, чтобы их можно было рассматривать без поворота записки. Если такое размещение невозможно, рисунки следует располагать так, чтобы для их просмотра надо было бы повернуть работу по часовой стрелке.

Схемы алгоритмов должны быть выполнены в соответствии со стандартом ЕСПД. Толщина сплошной линии при вычерчивании схем алгоритмов должна быть в пределах от 0,6 до 1,5 мм. Надписи на схемах должны быть выполнены чертежным шрифтом. Высота букв и цифр должна быть не менее 3,5 мм.

Номер таблицы размещается в правом верхнем углу над заголовком таблицы, если он есть. Заголовок, кроме первой буквы, выполняется строчными буквами. В аббревиатурах используются только заглавные буквы. Например: ПЭВМ.

Номер формулы ставится с правой стороны страницы в круглых скобках на уровне формулы. Например: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Например: расчет значений производится по формуле (12).

Нумеровать страницы работы по книжному варианту: печатными цифрами, в нижнем правом углу страницы, начиная с текста «Введения» (с. 3). Работа нумеруется сквозно, до последней страницы.

Пишется слово «глава», главы нумеруются римскими цифрами, параграфы - арабскими, знак; не пишется; части работы «Введение». «Заключение», «Литература» нумерации не имеют.

Названия глав и параграфов пишутся с красной строки.

Заголовки «Введение», «Заключение», «Литература» пишутся посередине, вверху листа, без кавычек, точка не ставится.

Объем введения и заключения работы - 1,5-2 страницы печатного текста.

Работа должна быть прошита.

В работе используются три вида шрифта: 1 - для выделения названий глав, заголовков «Оглавление», «Литература», «Введение», «Заключение»; 2 - для выделения названий параграфов; 3 - для текстовки

Требования к презентации

На первом слайде размещается:

ü название презентации;

На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде гиперссылок (для интерактивности презентации).

На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии с требованиями, интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.

Оформление слайдов
Стиль	8 необходимо соблюдать единый стиль оформления; 8 нужно избегать стилей, которые будут отвлекать от самой презентации; 8 вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны преобладать над основной информацией (текст, рисунки)
Фон	8 для фона выбираются более холодные тона (синий или зеленый)
Использование цвета	8 на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один для фона, один для заголовков, один для текста; 8 для фона и текста используются контрастные цвета; 8 особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после использования)
Анимационные эффекты	8 нужно использовать возможности компьютерной анимации для представления информации на слайде; 8 не стоит злоупотреблять различными анимационными эффектами; анимационные эффекты не должны отвлекать внимание от содержания информации на слайде
Представление информации
Содержание информации	8 следует использовать короткие слова и предложения; 8 время глаголов должно быть везде одинаковым; 8 следует использовать минимум предлогов, наречий, прилагательных; 8 заголовки должны привлекать внимание аудитории
Расположение информации на странице	8 предпочтительно горизонтальное расположение информации; 8 наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана; 8 если на слайде располагается картинка, надпись должна располагаться под ней.
Шрифты	8 для заголовков не менее 24; 8 для остальной информации не менее 18; 8 шрифты без засечек легче читать с большого расстояния; 8 нельзя смешивать разные типы шрифтов в одной презентации; 8 для выделения информации следует использовать жирный шрифт, курсив или подчеркивание того же типа; 8 нельзя злоупотреблять прописными буквами (они читаются хуже, чем строчные).
Способы выделения информации	Следует использовать: 8 рамки, границы, заливку 8 разные цвета шрифтов, штриховку, стрелки 8 рисунки, диаграммы, схемы для иллюстрации наиболее важных фактов
Объем информации	8 не стоит заполнять один слайд слишком большим объемом информации: люди могут единовременно запомнить не более трех фактов, выводов, определений. 8 наибольшая эффективность достигается тогда, когда ключевые пункты отражаются по одному на каждом отдельном слайде.
Виды слайдов	Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.

В процессе работы обучающиеся:

Просматривают и изучают необходимый материал, как в лекциях, так и в дополнительных источниках информации;

Составляют список слов раздельно по направлениям;

Составляют вопросы к отобранным словам;

Проверяют орфографию текста, соответствие нумерации;

Оформляют готовый кроссворд.

Общие требования при составлении кроссвордов:

Не допускается наличие "плашек" (незаполненных клеток) в сетке кроссворда;

Не допускаются случайные буквосочетания и пересечения;

Загаданные слова должны быть именами существительными в именительном падеже единственного числа;

Двухбуквенные слова должны иметь два пересечения;

Трехбуквенные слова должны иметь не менее двух пересечений;

Не допускаются аббревиатуры (ЗиЛ и т.д.), сокращения (детдом и др.);

Все тексты должны быть написаны разборчиво, желательно отпечатаны.

Требования к оформлению:

Рисунок кроссворда должен быть четким;

Сетки всех кроссвордов должны быть выполнены в двух экземплярах:

1-й экз. - с заполненными словами;

2-й экз. - только с цифрами позиций.

Ответы публикуются отдельно. Ответы предназначены для проверки правильности решения кроссворда и дают возможность ознакомиться с правильными ответами на нерешенные позиции условий, что способствует решению одной из основных задач разгадывания кроссвордов - повышению эрудиции и увеличению словарного запаса.

Критерии оценивания составленных кроссвордов:

1. Четкость изложения материала, полнота исследования темы;

2. Оригинальность составления кроссворда;

3. Практическая значимость работы;

4. Уровень стилевого изложения материала, отсутствие стилистических ошибок;

5. Уровень оформления работы, наличие или отсутствие грамматических и пунктуационных ошибок;

6. Количество вопросов в кроссворде, правильное их изложения.

Для того чтобы практические занятия приносили максимальную пользу, необходимо помнить, что упражнение и решение ситуативных задач проводятся по вычитанному на лекциях материалу и связаны, как правило, с детальным разбором отдельных вопросов лекционного курса. Следует подчеркнуть, что только после усвоения лекционного материала с определенной точки зрения (а именно с той, с которой он излагается на лекциях) он будет закрепляться на практических занятиях как в результате обсуждения и анализа лекционного материала, так и с помощью решения ситуативных задач. При этих условиях студент не только хорошо усвоит материал, но и научится применять его на практике, а также получит дополнительный стимул (и это очень важно) для активной проработки лекции.

При самостоятельном решении поставленных задач нужно обосновывать каждый этап действий, исходя из теоретических положений курса. Если обучающийся видит несколько путей решения проблемы (задачи), то нужно сравнить их и выбрать самый рациональный. Полезно до начала решения поставленных задач составить краткий план решения проблемы (задачи). Решение проблемных задач или примеров следует излагать подробно, нужно сопровождать комментариями, схемами, чертежами и рисунками, инструкциями по выполнению.

Следует помнить, что решение каждой учебной задачи должно доводиться до окончательного логического ответа, которого требует условие, и по возможности с выводом. Полученный результат следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

· Основные термины тестового задания должны быть явно и ясно определены.

· Тестовые задания должны быть прагматически корректными и рассчитаны на оценку уровня учебных достижений обучающихся по конкретной области знаний.

· Тестовые задания должны формулироваться в виде свернутых кратких суждений.

· Следует избегать тестовых заданий, которые требуют от тестируемого развернутых заключений на требования тестовых заданий.

· При конструировании тестовых ситуаций можно применять различные формы их представления, а также графические и мультимедийные компоненты с целью рационального предъявления содержания учебного материала.

Количество слов в тестовом задании не должно превышать 10-12, если при этом не искажается понятийная структура тестовой ситуации. Главным считается ясное и явное отражение содержания фрагмента предметной области.

Среднее время заключения обучающегося на тестовое задание не должно превышать 1,5 минуты.

Выпускная работа на тему "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции" выполнена на курсах повышения квалификации.

Содержит краткий теоретический материал, разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения по каждому разделу.

Работа адресована учащимся старших классов, учителям.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

ТЕМУ:

«ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Выполнила:

учитель математики

МОУ СОШ №5, г. Лермонтова

ГОРБАЧЕНКО В.И.

Пятигорск 2011

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Решения простейших уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Таблица 1.

Уравнение	Решение

1.2. Решение простейших неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Таблица 2.

Неравенство	Решение

1.3. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций

Из определения обратных тригонометрических функций, вытекают тождества

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Кроме того, верны тождества

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Тождества, связывающие разноименные обратные тригонометрические функции

(9)

(10)

2. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1. Уравнения вида и т.д.

Такие уравнения сводятся к рациональным уравнениям подстановкой.

Пример.

Решение.

Замена () приводит уравнение к квадратному, корни которого .

Корень 3 не удовлетворяет условию .

Тогда получаем обратную подстановку

Ответ .

Задачи.

2.2. Уравнения вида , где - рациональная функция.

Для решения уравнений такого вида необходимо положить , решить уравнение простейшего вида и сделать обратную подстановку.

Пример .

Решение .

Пусть . Тогда

Ответ . .

Задачи .

2.3. Уравнения, содержащие либо разные аркфункции, либо аркфункции от разных аргументов.

Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение таких уравнений к их алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при это посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбирается тангенс или котангенс, то решения входящие в область определения этих функций могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значения тангенса или котангенса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Пример.

Решение .

Перенесем в правую часть и вычислим значение синуса от обеих частей уравнения

В результате преобразований получим

Корни этого уравнения

Сделаем проверку

При имеем

Таким образом, является корнем уравнения.

Подставляя , заметим, что левая часть получившегося соотношения положительна, а правая часть отрицательна. Таким образом, - посторонний корень уравнения.

Ответ. .

Задачи.

2.4. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции одного аргумента.

Такие уравнения можно свести к простейшим с помощью основных тождеств (1) – (10).

Пример .

Решение.

Ответ.

Задачи.

3. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.1. Простейшие неравенства.

Решения простейших неравенств основано на применении формул табл.2.

Пример.

Решение.

Т.к. , то решением неравенства является промежуток .

Ответ .

Задачи.

3.2. Неравенства вида , - некоторая рациональная функция.

Неравенства вида , - некоторая рациональная функция, а - одна из обратных тригонометрических функций решаются в два этапа – сначала решается неравенство относительно неизвестного , а затем простейшее неравенство, содержащее обратную тригонометрическую функцию.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Решения неравенства

Возвращаясь к исходному неизвестному, получаем, что исходное неравенство сводиться к двум простейшим

Объединяя эти решения, получаем решения исходного неравенства

Ответ .

Задачи.

3.3. Неравенства, содержащие либо разноименные аркфункции, либо аркфункции разных аргументов.

Неравенства, связывающие значения различных обратных тригонометрических функций или значения одной тригонометрической функции, вычисленные от различных аргументов, удобно решать, вычислив значения некоторой тригонометрической функции от обеих частей неравенств. Следует помнить, что получающееся при этом неравенство будет равносильно исходному лишь в том случае, когда множество значений правой и левой частей исходного неравенства принадлежат одному и тому же промежутку монотонности этой тригонометрической функции.

Пример.

Решение.

Множество допустимых значений , входящих в неравенство: . При . Следовательно, значения не являются решениями неравенства.

При как правая часть, так и левая часть неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку . Т.к. на промежутке функция синус монотонно возрастает, то при исходное неравенство равносильно

Решаем последнее неравенство

Пересекая с промежутком , получим решение

Ответ.

Замечание. Можно решить с использованием

Задачи.

3.4. Неравенство вида , где - одна из обратных тригонометрических функций, - рациональная функция.

Такие неравенства решаются с помощью подстановки и сведением к простейшему неравенству табл.2.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Сделаем обратную подстановку, получим систему

Ответ .

Задачи.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Практика

Конспект урока

Главным образом умения работать с аркфункциями нам пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Задания, которые мы сейчас рассмотрим, делятся на два вида: вычисление значений обратных тригонометрических функций и их преобразования с использованием основных свойств.

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1 . Вычислить .

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций для углов от до . Этот диапазон углов входит в область значений каждой из аркфункций, поэтому просто пользуемся таблицей, находим в ней значение тригонометрической функции и восстанавливаем, какому углу оно соответствует.

а)

б)

в)

г)

Ответ. .

Задача №2 . Вычислить

.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. Типичная ошибка в данном случае - это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей. Однако это делать можно не во всех случаях. Вспомним, как в теоретической части урока мы оговаривали четность всех аркфункций. Нечетными из них являются арксинус и арктангенс, т. е. из них выносится минус, а арккосинус и арккотангенс - это функции общего вида, для упрощения минуса в аргументе у них имеются специальные формулы. После расчета во избежание ошибок проверяем, чтобы результат входил в область значений.

Когда аргументы функций упрощены до положительной формы, выписываем из таблицы соответствующие им значения углов.

Может возникнуть вопрос, почему бы не выписывать значение угла, соответствующего, например, сразу из таблицы? Во-первых, потому что таблицу до запомнить тяжелее, чем до , во-вторых, потому что отрицательных значений синуса в ней нет, а отрицательные значения тангенса дадут по таблице неверный угол. Лучше иметь универсальный подход к решению, чем запутаться в множестве различных подходов.

Задача №3 . Вычислить .

а) Типичная ошибка в данном случае - это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ . Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу соответствует значение , но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т. е. , а не .

Кроме того, поскольку мы выяснили, что является именно аргументом арккосинуса, то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что , т. е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение имеет смысл, т. к. , но поскольку значение косинуса, равное не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

В данном примере мы не рассматриваем арктангенс и арккотангенс, т. к. у них не ограничена область определения и значения функций будут для любых аргументов.

Задача №4 . Вычислить .

По сути дела задача сводится к самой первой, просто нам необходимо отдельно вычислить значения двух функций, а потом подставить их в исходное выражение.

Аргумент арктангенса табличный и результат принадлежит области значений.

Аргумент арккосинуса не табличный, но нас это не должно пугать, т. к. чему бы не был равен арккосинус, его значение при умножении на ноль даст в результате ноль. Осталось одно важное замечание: необходимо проверить принадлежит ли аргумент арккосинуса области определения, поскольку если это не так, то все выражение не будет иметь смысла в независимости от того, что в нем присутствует умножение на ноль. Но , поэтому мы можем утверждать, что имеет смысл и в ответе получаем ноль.

Приведем еще пример, в котором необходимо уметь вычислить одну аркфункцию, зная значение другой.

Задача №5 . Вычислить , если известно, что .

Может показаться, что необходимо из указанного уравнения вычислить сначала значение икса, а затем подставить его в искомое выражение, т. е. в арккотангенс, но этого делать не нужно.

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:

И выразим из нее то, что нам нужно:

Для уверенности можете проверить, что результат лежит в области значений арккотангенса.

Преобразования аркфункций с использованием их основных свойств

Теперь перейдем к серии заданий, в которых нам придется использовать преобразования аркфункций с использованием их основных свойств.

Задача №6 . Вычислить .

Для решения воспользуемся основными свойствами указанных аркфункций, только обязательно проверяя при этом соответствующие им ограничения.

а)

б) .

Ответ. а) ; б) .

Задача №7 . Вычислить .

Типичная ошибка в данном случае - это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

при

Но . Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

Т. к. поскольку , следовательно, , т. к. .

Задача №8 . Вычислить.

В указанном примере мы имеем дело с выражением, которое похоже на основное свойство арксинуса, но только в нем присутствуют кофункции. Его надо привести к виду синус от арксинуса или косинус от арккосинуса. Поскольку преобразовывать прямые тригонометрические функции проще, чем обратные, перейдем от синуса к косинусу с помощью формулы «тригонометрической единицы».

Как мы уже знаем:

В нашем случае в роли . Вычислим для удобства сначала .

Перед подстановкой его в формулу выясним ее знак, т. е. знак исходного синуса. Синус мы должны вычислить от значения арккосинуса, каким бы это значение ни было, мы знаем, что оно лежит в диапазоне . Этому диапазону соответствуют углы первой и второй четвертей, в которых синус положителен (проверьте это сами с помощью тригонометрической окружности).

На сегодняшнем практическом занятии мы рассмотрели вычисление и преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Закрепите материал с помощью тренажёров

Тренажёр 1 Тренажёр 2 Тренажёр 3 Тренажёр 4 Тренажёр 5